成績アップのために。 勉強は役に立つ=教科書と実際の世の中をつなぐ。中1平面図形からカーナビのしくみ。

中1生にカーナビのしくみを説明してみました。

日曜日の長い長いテスト対策の時に、ちょっと飽き気味だったので、また、ちょうどテスト範囲に平面図形も入っているので。 教科書で習っていることが、実際に世の中では、こんな風に使われているよって話の一貫です。

「2点A,Bから等しい距離にある直線ℓ上の点を見つけなさい」とかは、苦手な人には何をやっているのかまったく意味不明とよく聞きます。

正負の計算や文字式・方程式では、まず計算練習、次に文章問題と何を頑張ればいいかわかりやすかったけど、平面図形は何をやったらいいのかさえもわからないと言う人が多いところです。

「こんなの何に役立つの」と言っていた人もいたので、カーナビで車の位置を知るGPSのしくみを説明してみました。

まずは、基本の基本から。
点Aから等しい距離にある点を集めるとどんな形になるでしょうか。

小学生でもわかりますね。円になります。

では、点Aから2cm、点Bから3cm離れている場所はどこでしょう。

点Aから半径2cmの円を描き、点Bから半径3cmの円を描き、その2つの円が交わった点が、求めている場所です。

2つの赤い点です。

では、ここからいよいよ本題です。
海の近くの地点Sと地点Tに時刻を知らせるスピーカーがあります。 どちらも夕方5時に曲が流れます。 ある場所でSからの曲が 聞こえたときに時計を見ると 5時からちょうど2秒後でした。 その1秒後にTから曲が 聞こえてきました。 音が1秒間に340m進むとします。
さて、今どこにいるのでしょうか? という問題です。

音が1秒間に進む距離は340mなので、 Sからの曲が2秒後に聞こえる場所は、 Sから340×2=680mはなれたところです。 つまり、Sを中心とした半径680mの円周上です。
同じように、 Tからの曲が3秒後に聞こえる場所は、 Tから340×3=1020mはなれたところです。 つまりTを中心とした半径1020mの円周上です。

2つの円が交わるところが今いる場所です。 2つ見つかりましたが、1つは海の上なので除外します。

それではカーナビです。数学的にはまったく同じしくみです。 平面から空間にかわるだけです。 カーナビは地球をまわるGPS衛星からの電波を受信しています。 その電波には正確な時刻の情報が含まれています。

電波を受け取ったGPS受信機は、 電波が届くまでの時間から自分と衛星までの距離を計算します。 海辺のスピーカーと違って人工衛星は宇宙空間にあるので、衛星からの距離が一定である点の集まりは円ではなく球になります。

そして、2つの衛星A、Bから一定の距離の点の集まりは、2つの球面が交わってできるになります(図の赤い円)。2つの衛星からの電波では、 円周上のどこかということしかわかりません。


ここで、もう1つの衛星Cからの電波を受信します。 すると自分のいる位置は、 2つの衛星からわかった円(図の赤い円)衛星Cからわかる球面が 交わる2点(図の赤丸と黒丸)のどちらかであることがわかります。

自分は地球の表面にいることから、 自分の位置が特定できます。 実際には、時刻などの誤差を補正するために4つ以上の衛星からの電波を使って自分の位置を決めています。

カーナビやスマホで利用されているGPS(グローバル ポジショニング システム)は、ある点から距離が等しい点を組み合わせることによって
今、自分がいる場所を特定しているのです。

よく教科書で習ったことが、将来、役に立つの?と言う子がいます。 そんな時、時間の許す範囲でなるべく実際に世の中では、こんな具合に使っているよと言う説明をしています。 少しでも興味が持てればと願いつつ。
 

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