💬 ゆうと＆あかりのストーリー解説 応用編
二次関数 応用編「変化の割合を使った問題に挑戦！」
🧩 問題1 変化の割合の公式を使ってaを求める。
関数 y＝2x² で、xの値が a から a＋2 まで増加するとき、
変化の割合が 16 になりました。
このときの a の値 を求めましょう。
👦 ゆうと：「“変化の割合”って、また出た…。これって傾きと同じ考え方だったよね？」
👧 あかり：「そうそう！ 二次関数では“区間ごとの傾き”ってイメージ。
公式は――」
\( \text{変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \)
👦 ゆうと：「じゃあ、まずxとyの対応表を作って、どう変わるか見てみよう。上がx、下がyだよ。」
| x | a | a＋2 |
| y | 2a² | 2(a＋2)² |
👧 あかり：「xの増加量は (a＋2) − a ＝ 2 ね。」
👦 ゆうと：「OK。じゃあ次、yの増加量は…
2(a＋2)² − 2a²。ちょっと展開してみよう。」
yの増加量
＝2(a²＋4a＋4) − 2a²
＝ 2a²＋8a＋8 − 2a²
＝ 8a＋8
👧 あかり：「ここで“a²”の項が消えるから安心！
二次関数の“変化の割合”は、aの式になるんだね。」
👦 ゆうと：「ということは、変化の割合は――」
\( \text{変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \) =\( \frac{8a+8}{2} \)=4a+4
👧 あかり：「この“4a＋4”が、aからa+2の区間の変化の割合ね。」
👦 ゆうと：「なるほど。で、問題文では変化の割合が16だから――」
4a＋4＝16
⇒ 4a＝12
⇒ a＝3
👧 あかり：「正解！✨ a＝3のとき、変化の割合が16になるんだね。」
👦 ゆうと：「なんだかスッキリ！
“区間ごとに傾きが変わる”っていうのが、やっとわかってきた！」
🧮 問題2 二次関数と一次関数の変化の割合が等しい時のaを求める
関数 y＝ax² と y＝−5x＋6 で、xが 4から6まで 増加するとき、
変化の割合が同じになりました。
このときの a の値 を求めましょう。
👦 ゆうと：「今度は2つの関数！？ちょっと複雑そう…。」
👧 あかり：「大丈夫。1つ1つ見ていこう。
一次関数 y＝−5x＋6 の変化の割合は、“傾き”と同じで常に −5。」
👦 ゆうと：「ふむふむ。じゃあ、二次関数 y＝ax² のほうを計算してみよう。」
| x | 4 | 6 |
| y | 16a | 36a |
👧 あかり：「xの増加量は6−4＝2、yの増加量は36a−16a＝20a。」
👦 ゆうと：「だから変化の割合は――」
\( \text{変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \) =\( \frac{20a}{2} \)=10a
👧 あかり：「いいね。
で、『変化の割合が同じ』だから、10a＝−5。」
👦 ゆうと：「えっと、両辺を10で割ると――」
\( a = -\frac{1}{2} \)
👧 あかり：「その通り！✨
\( a = -\frac{1}{2} \)のとき、二次関数の“区間の傾き”が一次関数の傾きと一致するんだ。」👦 ゆうと：「なるほど〜！ 二次関数も、区間を切り取ると“その部分だけの傾き”が出るってことか！」
👧 あかり：「そういうこと！ これが“平均の傾き”＝変化の割合の考え方だよ。」
❓Q&Aコーナー：中3数学 変化の割合をスッキリ理解！
- Q1：👦 ゆうと：「二次関数の“変化の割合”って、どうして場所によって違うの？」
-
👧 あかり：「いい質問！ 二次関数のグラフは“カーブ”してるでしょ？
だから、区間によってグラフの傾き（上がるスピードや下がるスピード）が変わるの。
つまり“変化の割合”は、カーブの形に合わせて変わるんだよ。」👦 ゆうと：「なるほど！ 直線ならいつも同じだけど、放物線はカーブだから変わるんだね！」
- Q2：👦 ゆうと：「じゃあ、変化の割合って、どんな意味があるの？」
-
👧 あかり：「“平均の傾き”って考えるとわかりやすいよ。
たとえば x が 3 から 5 に変わる間に、y がどれだけ増えたかを割合で見てるの。
だから『この区間ではどれくらいの速さで上がった（下がった）か』を表してるんだね。」👦 ゆうと：「速さの平均、みたいな感じか！グラフの動き方を数字で表してるんだ！」
- Q3：👦 ゆうと：「計算で“a²の項が消える”って、どうしてそうなるの？」
-
👧 あかり：「そこが二次関数の面白いところ！
増加の差（yの増加量）をとると、同じa²どうしが引き算で消えるの。
残るのは“a”を含む一次の部分。
つまり、“変化の割合”ではaが主役になるんだね。」👦 ゆうと：「ほんとだ、展開して引いたらa²がなくなってた！
だから毎回“aが残る形”になるんだね。」 - Q4：👦 ゆうと：「一次関数と比べると、どこがいちばん違うの？」
-
👧 あかり：「一次関数は“傾き＝変化の割合”が常に同じ。
でも二次関数は“xの場所ごとに変わる”の。
だから、一定じゃないっていうのが大きなちがいだね。」👦 ゆうと：「同じ公式を使っても、結果が変わるのはそのせいか！」
- Q5：👦 ゆうと：「変化の割合を求めるとき、間違いやすいポイントってある？」
-
👧 あかり：「あるある！ いちばん多いのは、“yの増加量とxの増加量を逆にする”ミス。
あと、yの計算でa²が消えるのを見逃して“式が長くなる”パターンも多いよ。
対応表を見ながら、順番に整理するとミスが減るよ！」👦 ゆうと：「やっぱり“対応表”が大事なんだね！ちゃんと書くようにするよ！」
✅ ① 変化の割合の公式はこれ！
\( \text{変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \)この公式は 一次関数でも二次関数でも共通！
ただし、二次関数では区間によって値が変わることを忘れないで！
✅ ② 一次関数とのちがいを整理！
| 一次関数 | 二次関数 | |
|---|---|---|
| 変化の割合 | どこでも同じ（＝傾きa） | 区間ごとに変わる |
| グラフの形 | 直線 | 放物線 |
| 計算の手順 | 傾きaをみればわかる | 区間ごとに計算が必要 |
✅ ③ 計算は「対応表」で整理！
どんな問題でも、まず対応表を作る。
| x | ○ | □ |
| y | ● | ■ |
順番を間違えない・式をきれいに整理できる、これだけでミスが激減！
✅ ④ “何を比べているのか”を意識！
\( \text{変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \)つまり、
「この区間ではどのくらい上がった（または下がった）のか？」
を数で表している。
式に振り回されず、グラフの動きをイメージすることが理解の近道！
🎯 先生からひとこと
二次関数の応用問題では、変化の割合の理解がカギになります。
公式を覚えるだけじゃなく、
「どうしてこうなるの？」を一度自分の言葉で説明できるようにしてみよう！
それができたら、この単元はもう完璧です！
🧮 🧮 二次関数 応用演習「変化の割合」まとめテスト（10題）
① 関数 y=x² について、xの値が a から a＋3 まで増加するとき、
変化の割合が 10 であった。a の値を求めよ。
解答：
xの増加量＝3
yの増加量＝(a＋3)² − a² ＝ a²＋6a＋9 − a² ＝ 6a＋9
したがって
2a＋3＝10
→ 2a＝72a＝72a＝7
→ a＝3.5
② 関数y = a x² と y=−4x＋8 の変化の割合が、xが 2 から 4 まで増加するときに等しい。
a の値を求めよ。
解答：
一次関数の変化の割合＝−4
③ 関数 y = 3x² と y=ax+5 について、xが 1 から 3 まで増加するときの変化の割合が等しいとき、a を求めよ。
解答：
一次関数の変化の割合＝a よって a＝12
④ 関数y = 2x² について、xが a から a＋2 まで増加するときの変化の割合が 10 のとき、a の値を求めよ。
解答：
変化の割合が 10 だから、4a+4＝10 よって \( a = \frac{3}{2} \)
⑤ 関数y = a x² と y = 3x − 9 の変化の割合が、xが −2 から 0 まで増加するときに等しい。a の値を求めよ。
\( \text{二次関数の変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \)= \( \frac{0-4a}{2} \)= \( \frac{4a}{2} \)=-2a
2つの関数の変化の割合が等しいから、－2a＝3 よって a＝－1.5
⑥ 関数 y = 2x² について、xの値が a から a＋3 まで増加するとき、
変化の割合が 22 であった。a の値を求めよ。
解答：
xの増加量＝3
yの増加量＝2(a＋3)² − 2a²
＝2(a²＋6a＋9) − 2a²＝12a＋18
変化の割合が22だから、4a+6＝22 よって a＝4
⑦ 関数y = 3x² について、xの値が a から a＋3 まで増加するときの変化の割合を求めよ。
解答：
xの増加量＝3
yの増加量＝3(a＋3)² − 3a²
＝3(a²＋6a＋9) − 3a²＝18a＋27
変化の割合は、6a+9
⑧ 関数y = a x² と y = −5x＋6 の変化の割合が、xが 4 から 6 まで増加するときに等しい。a の値を求めよ。
\( \text{二次関数の変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \)= \( \frac{36a-16a}{2} \)= \( \frac{20a}{2} \)=10a
2つの関数の変化の割合が等しいから、10a＝－5 よって \( a = -\frac{1}{2} \)
⑨ 関数 y = 4x² について、xの値が a から a＋3 まで増加するときの変化の割合が 20 のとき、a の値を求めよ。
解答：
\( \text{二次関数の変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \)= \( \frac{(4a²+24a+36)-4a²}{3} \)= \( \frac{24a+36}{3} \)=8a+12変化の割合が等しいから、8a+12＝20 よって a=1
⑩ 関数 y = a x² と y = 2x − 10 について、xが 1 から 4 まで増加するときの変化の割合が等しい。a を求めよ。
解答：
\( \text{二次関数の変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}} \)= \( \frac{16a-a}{3} \)= \( \frac{15a}{3} \)=5a
2つの関数の変化の割合が等しいから、5a＝2 よって \( a = \frac{5}{2} \)
📘 「止まって見える時間も、君はちゃんと進んでる」
どんなに頑張っても、すぐに結果が出ないときがあります。
でもそれは、「進んでいない」のではなく、「変化の途中」なんです。
二次関数のグラフみたいに、最初はゆるやかでも、
少しずつ傾きが変わって、やがてぐんと上がっていく瞬間がきます。
「変化の割合」を求めるたびに、
自分の努力にも“変化の割合”があることを思い出してください。
焦らず、比べず、
昨日の自分より、ほんの少しでも前に進めたらそれでOK。
👧 あかり：「変化を感じられないときこそ、実は内部で爆発力を一番ためているときなんだよ。」
👦 ゆうと：「二次関数の上昇カーブになりたい。頑張るぞ！」
今日も一歩、君の“上昇カーブ”を信じて進もう。
努力の線は、きっと未来で大きく上に伸びていくから。
