💬 ゆうと＆あかりのストーリー解説

二次関数の変域・応用編

テーマ：0チェックと「遠い方のx」で最大・最小を見抜く！

👦 ゆうと：「うわ、また“変域”の問題か…。
今回は、関数 y＝ax² で、x の範囲が −2 ≦ x≦≤ 3 のとき、y の範囲が b≦ y≦ 3 になるっていう問題だね。
a と b を求めるって書いてあるけど、どうすればいいんだろう？」

👧 あかり：「いい質問だね！
このタイプの問題は、“範囲に0があるかないか”と “グラフの形をイメージすること” が大事だよ。
まず、“範囲に0があって、最大値が3”って書いてあるところから考えてみよう。」

👦 ゆうと：「最大値が3ってことは……下に開く放物線（a＜0）なのかな？」

👧 あかり：「うーん、それがちょっと違うんだ。
たとえば y＝−x² みたいにaがマイナスのとき、グラフは“下向き（ガッカリ型）”になって、最大値は0になるの。
でも今回の問題は最大値が3って書いてあるよね？
だから 上に開く放物線（a＞0） なんだよ。」

👦 ゆうと：「なるほど！　つまり“aはプラス”で、上に開くカーブ（放物線）なんだね！」

👧 あかり：「その通り！　じゃあ、どこで最大になるかを考えてみよう。
上に開く放物線は、原点から遠いほうでyが大きくなるんだったね。」

👦 ゆうと：「xの範囲が −2 ≦ x ≦ 3 だから、0から遠いのは x＝3 だ！」

👧 あかり：「その通り✨　だから、x＝3 のときに y が最大の3になると考えるの。
式に代入してみよう。」

👦 ゆうと：「なるほど！　a＝1/3 だね。
でも、b はどうすればいいの？」

👧 あかり：「bは“最小値”。
ここでチェックするのは、変域に0が含まれているかどうか！
−2から3の間には0が入っているから、x＝0のときがグラフの“谷の底”になるんだよ。」

👦 ゆうと：「あっ、つまりy＝0が最小値ってことか！」

👧 あかり：「そう！　x＝0を代入すれば、y＝a×0²＝0。
だから b＝0 になるんだ。」

👦 ゆうと：「じゃあ、まとめると a＝1/3、b＝0 か！」

👧 あかり：「完璧！✨
ちなみに、x＝−2のときも確かに範囲内だけど、“0から遠い方”ではないから今回は最大・最小には関係しないんだ。
つまり、“0を含むとき”は、x＝0（谷の底）と0から一番遠いx（山の端）だけを見ればいいの。」

🧩 まとめ

👦 ゆうと：「今回の問題、0が入ってるから、最小値＝0がすぐわかるんだね！」

👧 あかり：「そうなの！　二次関数では、“0チェック”＋“遠い方のx” で答えが決まるんだよ。
これで、迷わず解けるようになるよ。」

💡先生のひとこと

「x＝−2」はたしかに範囲内だけど、0から遠い方ではないから最大・最小には関係しません。
変域に0があるときは、“0と0から遠い方”の2点だけを見ればOKです。
このルールを覚えておけば、グラフを描かなくても一瞬で答えを導けます。

0チェックで見抜け！二次関数の最大・最小Q&A（ゆうと＆あかりの会話）

Q1. まず最初に何を確認すればいいの？

👦 ゆうと：「解き始めで一番最初に見るのはどこ？」
👧 あかり：「0チェックだよ。xの範囲に0が入っているかどうか！今回は −2≦x≦3 だから 0が入っている。これで“頂点（x=0）が中にある”って分かるから、y=0が最小か最大のどちらかに必ず絡むんだ。」

ワンポイント：0が範囲に入る→頂点の値 y=0y=0y=0 が候補に入る。

Q2. aの符号はどうやって決めるの？

👦 ゆうと：「上に開くか下に開くか、どう見分ける？」
👧 あかり：「最大値が3って書いてあるよね。もし a<0（下に開く）なら、頂点が最大値0になっちゃう。最大値が3（0より大）ってことは、a>0 上に開くしかないよ。」

ワンポイント：最大が0より大 ⇒ a>0a>0a>0（上に開く）確定。

Q3. 最大値3はどこで出るの？なぜ x=3 なの？

👦 ゆうと：「上に開くなら、どのxで最大3になるの？」
👧 あかり：「“原点から遠い方のx”で大きくなるよ。範囲は −2≦x≦ 33。原点から 遠いのは x=3。だから、

\( 3 = a \times 3^2　 \rightarrow 3 = 9a 　\rightarrow a = \frac{1}{3} \)と決まるの。」

👦 ゆうと：「じゃあ x=-2 は今回、最大・最小の決定には関係しないんだね。」
👧 あかり：「そう。0を含むときは “x=0” と “0から一番遠い方” が主役。遠くない方（ここではx=-2）は深追いしなくてOK。」

ワンポイント：0を含む ⇒ “0” と “遠い方” だけ見れば十分。

Q4. 最小値bはどう求めるの？

👦 ゆうと：「bは最小値だよね。どうやって決めるの？」
👧 あかり：「0チェックを思い出して。0が入っていて、しかも a>0（上に開く）なら、頂点の値が最小。だから x=0で、b=0 で確定だよ。」

ワンポイント：0を含み、a>0 ⇒ 最小は y=0。

Q5. 間違えないための検算は？

👦 ゆうと：「本当に \( a = \frac{1}{3} \)とb=0 で合ってるか、不安…。」

👧 あかり：「検算しよう！ \( a = \frac{1}{3} \)なら

x=0: y=0（最小候補）

x=3のとき  \( y = \frac{1}{3} \times 3^2 \) =3（最大＝問題文の上端と一致）

x=-2のとき  \( y = \frac{1}{3} \times (-2)^2 = 3 \) =\( \frac{4}{3} \)

変域は確かに 0≦y≦3　ばっちり！」

ワンポイント：求めたaで「0・遠い方・もう一方」を代入して、最大最小と中間関係を確認。

最後にひとこと（考え方の合言葉）

「0チェック → aの符号 → 0 と 遠い方」
この3ステップだけで、応用の変域もスッキリ解けるよ！

🧠 先生からの「ここだけは絶対に押さえろ！」

👧 あかり：「0と“遠い方”が主役、これを忘れなければ大丈夫！」
👦 ゆうと：「よし、もう“どこを見るか”で迷わなくなりそう！」

🧮 確認練習問題（応用編）

🌈 未来は君の中にある！

👦 ゆうと：「この問題、最初は意味がわからなかったけど、だんだん“形”が見えてきた気がする！」
👧 あかり：「そうそう！考え方がわかると、数字もすこし楽しくなるよね！」

✨ 勉強って、“わからない”ときは闇の中にいるみたい。
でも、1つ考え方をつかめた瞬間、目の前がパッと開けるんです。

大事なのは「できるようになるまであきらめないこと」。
今日つまずいたところが、明日の成長の入口になるかもしれません。

だから、もし難しく感じても――
「今はその途中なんだ」と自分に声をかけてみてください。

君の中には、まだ見つかっていない可能性がたくさん眠っています。
小さな一歩を積み重ねるたびに、それが少しずつ形になっていく。

🌱 未来は、誰かに与えられるものじゃない。君が作っていくもの。
今日の努力が、その第一歩です。

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