簡単な方法　平方根の正誤問題の解き方＋練習問題②　中３数学

平方根って何？

　15cm²　　　この単位、「cm²」を何て読みました？

平方cmと読みました。　平方って、2乗する（同じ数を2回かける）ことです。ここでは、cmを2回かけています。

新しい約束　：　aの平方根＝2乗するとaになる数

　aの平方根は、2回かける（2乗する）とaになる数です。これが約束ですが、なんかあやふやな感じですよね。わかるような。わからないような。　数字を使って説明しましょう。

例えば、4の平方根は？

　2乗すると4になる数字です。　それは、　

　　　2×2＝4、　　（－2）×（－２）＝4　　　で、答えは2つあって、2と－2です。

　　　⇒　4の平方根は、±２です。

少しは具体的になりましたね。　でも、初期段階では微妙な人が多いので、慣れるまでは、しっくりくるまでは、図で把握しておくと混乱がずいぶん減るので、お勧めしています。

図で把握しよう。

この図は、左から右に平方（2乗・同じ数字を2回かける）しています。逆に、右から左は、平方根（2乗する前の数）を示しています。
64の平方根は？と言われたら、

aの所に64を入れて、

　と描けるようにしましょう。64の平方根は、２つあって＋8と－8です（右から左に見ています）。

注意1　　0×0＝0なので、0の平方根は0です。（０お平方根は１つだけです）　

注意2　　　（－）×（－）＝（＋）だから、マイナスの数字に平方根はありません。　　

どのぐらいの大きさか

平方根の大きさは、「正方形」を利用すると便利です。正方形の面積は、「1辺×1辺」でしたね。それを利用して、「面積が25の正方形の1辺の長さ」を考えて見ます（つまり、25の平方根です）。

面積が25ｃｍ²の正方形の1辺の長さは？

　　5ｃｍ×5ｃｍ＝25ｃｍ²だから、面積が25になるのは、1辺が5ｃｍの正方形です。

同じように面積が30ｃｍ²の正方形を考えると、1辺の長さは●30で、おおよその長さ（大きさ）がイメージできます。

　　　→　30の平方根は●±30（マイナスの数を忘れない）です。

この方法で、平方根の大きさ（長さ）はイメージできますが、マイナスの数に気づかないことがよく起こります。注意が必要です。

ルート（）って？

　「9の平方根は±3」　「25の平方根は±5」　「81の平方根は±9」とすぐわかります。九九の中にあるからです。

では、「10の平方根は？」と聞かれると、「エッ？」と思いませんか。九九の中に、同じ数を平方（同じ数を2回かけて）10になる数はありません。　3×3＝9　　4×4＝16　で、10を通り過ぎてしまいます。

実は、今まで知っている数の中に、同じ数を平方（同じ数を2回かけて）して、10になる数はないのです。

それで、ここで新しく数を作ることにします。　勝手に作る訳ではありませんよ。バビロニア（（紀元前2000 – 1650年頃）の粘土板には、すでにルート2が計算されているそうです。人類は、そんな昔から知っている数なのです。

平方して10になる数（10の平方根）を　（ルート10）と決めます。

同じ数を平方（2回かけて）10になる数（10の平方根）を　（ルート10）と決めます。（ルート）は、平方根の記号で、根号と言います。 ルートを使うと、10の平方根は、となります。図に示すと

5の平方根は、となります。図に示すと、

右側の数は、今までに知っている数です。　ここにが付いている数が入ることはありません。

左側の数は、右側の数にはをつけ、上が＋で、下が－です。

右側の数が、ある数の2乗になっているときは、左側の数は、を使わなくても、今まで知っていた数で書けます。
4＝2×2だから、

まとめると、

「aの平方根」（2乗するとaになる数）は、「」と表します。図はこうなります。

正誤問題で混乱しない方法

　正誤問題は、図にあてはめて考えると、混乱の度合いが一気に下がります。たとえば、「64の平方根は8である」は、

 64は右側で、右から左には2本線があるから、正しくは「64の平方根は±8である」とわかります。

「は±4である」は、

「」は左上の数です。ここは必ず＋の数なので、「は±4である」は、間違いで、正しくは「は＋4である」になります。

平方根の正誤問題は、図でどこにある数の話をしているかを明確にすると、混乱の度合いがグッと下がってやりやすくなります。平方根に慣れずに、頭がゴチャゴチャになってしまう人は、この方法を試してみてください。

最後の練習問題です。全問できることを確認してください。